ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О РАЗВИТИИ ГЕОМЕТРИИ

Автор М. Я Выгодский

Первые геометрические понятия приобретены людьми в глубокой древности. Они возникли из потребности определять вместимость различных предметов (сосудов, амбаров и т . п.) и площади земельных участков. Древнейшие известные нам письменные памятники, содержащие правила для определения  площадей и объёмов, были составлены в Египте и Вавилоне около 4 тысяч лет назад. Около 2,5 тысяч лет назад греки заимствовали у египтян и вавилонян их геометрические знания. Первоначально эти знания применялись преимущественно для измерения земельных участков. Отсюда и греческое название «геометрия», что означает «землемерие».

Греческие учёные открыли множество геометрических свойств и создали стройную систему геометрических знаний. В её основу они положили простейшие геометрические свойства, подсказанные опытом. Остальные свойства выводились из простейших с помощью рассуждений.

Эта система около 300 г. до н. э. получила завершённый вид в «Началах» Евклида¹, где изложены также основы теоретической арифметики. Геометрические разделы «Начала» по содержанию и по строгости изложения примерно совпадают с нынешними школьными учебниками геометрии.

Однако там ничего не говорится ни об объёме, ни о поверхности шара, ни об отношении окружности к диаметру (хотя есть теорема о том, что площади кругов относятся как квадраты диаметров). Приближённая величина этого отношения была известна из опыта задолго до Евклида, но только в середине 3 века до н. э. Архимед (287 – 212 гг. до н. э) строго доказал, что отношение окружности к диаметру (т. е. по-нашему, число π) заключено между 317 и 31071. Архимед доказал также, что объём шара меньше объёма описанного цилиндра ровно в 112 раза и что поверхность шара в 112 раза меньше полной поверхности описанного цилиндра.

В способах применённых Архимедом для решения упомянутых задач, содержатся зачатки методов высшей математики. Эти способы Архимед применил к решению многих трудных задач геометрии и механики, очень важных для строительного дела и для мореплавания. В частности, он определил объём и центры тяжести многих тел и изучил вопросы о равновесии плавающих тел различной формы.

Греческие геометры исследовали свойства многих линий, важных для практики и для теории. Особенно полно они изучали конические сечения. Во втором веке до н. э. Аполлоний обогатил теорию конических сечений многими важными открытиями, остававшимися непревзойдёнными в течение 18 веков.

Для изучения конических сечений Аполлоний пользовался методом координат. К изучению всевозможных линий на плоскости этот метод был применён лишь в 30-х годах 17 века французским учёным Ферма (1601 – 1655) и Декартом (1596 – 1650). Для технической практики того времени было достаточно плоских линий. Лишь сто лет спустя, когда этого потребовали возросшие запросы астрономии, геодезии и механики, координатный метод был применён к изучению кривых поверхностей и линий, проведённых на кривых поверхностях.

Систематическое развитие метода координат в пространстве было дано в 1748 г. русским академиком Эйлером – гениальным и всесторонним учёным. Более двух тысяч лет система Евклида считалась непреложной. Но в 1826 г. гениальный русский учёный Николай Иванович Лобачевский создал новую геометрическую систему. Исходные её положения отличаются от основных положений Евклида лишь в одном пункте². Но отсюда вытекает множество очень существенных особенностей.

Так, в геометрии Лобачевского  сумма углов треугольника всегда меньше, чем 180º (в геометрии Евклида она равна 180º). При этом недостаток до 180º тем больше, чем больше площадь треугольника.

Может показаться, что опыт опровергает этот и другие выводы Лобачевского. Но это не так. Непосредственно измеряя углы треугольника, мы находим, что они в сумме составляют примерно 180º. Точной же величины суммы мы не сможем найти вследствие несовершенства измерительных инструментов. Между тем все те треугольники, которые доступны нашему измерению, слишком малы, чтобы непосредственными измерениями обнаружить недостаток суммы углов до 180º.

При дальнейшем развитии гениальных идей Лобачевского оказалось, что система Евклида недостаточна для исследования многих вопросов астрономии и физики, где мы имеем дело с фигурами огромных размеров. Однако в условиях обычного опыта она остаётся вполне пригодной. А так как к тому же она обладает преимуществом простоты, то её применяют и будут применять в технических расчётах, её изучают и будут изучать в школах.     

¹«Начала» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) — главный труд Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии. «Начала» — вершина античной геометрии и античной математики вообще, итог её 300-летнего развития и основа для последующих исследований. «Начала», наряду с двумя трудамиАвтолика из Питаны — древнейшее из дошедших до нас античных математических сочинений; все труды предшественников Евклида известны нам только по упоминаниям и цитатам позднейших комментаторов.

Прокл сообщает (ссылаясь на Евдема), что подобные сочинения создавались и до Евклида: «Начала» были написаны Гиппократом Хиосским, а также платониками Леонтоми Февдием. Но эти сочинения, по-видимому, были утрачены ещё в античности.

Текст «Начал» на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Из античных комментариев до нас дошёл комментарий, написанный Проклом. Этот текст является важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. Прокл дает краткое изложение истории греческой математики (т. н. Евдемов каталог геометров), обсуждает взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль воображения в доказательствах.

Из древних комментаторов следует упомянуть Паппа, из новых — Пьера Рамуса, Федериго Коммандино, Христофа Шлюсселя (Клавиуса) и Савилия.

«Начала» оказали огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени. Книга переведена на множество языков мира. По количеству переизданий «Начала» не имеют себе равных среди светских книг.

Альберт Эйнштейн так оценивал «Начала»: «Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рождён для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением».

²В геометрии Евклида через точку А проходит только одна прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой ВС и не пересекающая её. В геометрии Лобачевского таких прямых бесчисленное множество.